Родился 19 сентября 1985 в Днепропетровске.

Окончил Академию управления персоналом по специальности «юрист».

В 2003 году Максим Свешников написал письмо Александру Ионовичу Боярскому с отрывком сценария о приключениях Алёши Поповича на современный лад. Александр Ионович показал полученный отрывок Сергею Михайловичу Сельянову. Идея понравилась обоим, и они решили перейти на «российский фольклор». Наконец, в 2004 году его пригласили, и он вместе с Боярским написал сценарий к мультфильму «Алёша Попович и Тугарин Змей». Через два года в прокат вышел следующий мультфильм по его сценарию, который оказывается более удачным. Вышедший еще через год «Илья Муромец и Соловей-Разбойник» окончательно закрепил финансовый успех. 

В 2012 году Максим Свешников пробует себя в кресле режиссера и снимает новогодний мультфильм «Снежная королева». Следующим проектом постановщика становится спин-офф прибыльной франшизы «Елки лохматые». Среди самых известных работ Свешникова в качестве режиссера значатся фильмы «Взломать блогеров» и «Нефутбол», а также сериалы «Филатов» и «Контейнер».