Родился  7 июля 1958 года в городе Абакане. 

Интерес к театру возник у Власова-младшего благодаря старшему брату, работавшему театральным художником. В 1965 году Сережа пошел в 1-й класс школы № 19 Абакана. В школьные годы Сергей успевал играть в шахматы, посещать спортивные секции и кружок авиамоделирования. 

После окончания 10-го класса поехал в Ленинград и с первой попытки поступил в ЛГИТМИК на курс Аркадия Кацмана и Льва Додина. Однокурсником Власова был Игорь Скляр, вместе с которым Сергей участвовал в студенческих спектаклях, ставших основой репертуара МДТ, в частности постановки по произведениям Федора Абрамова «Братья и сестры». Отслужив в армии в составе агитотряда «Политбоец», уроженец Восточной Сибири стал артистом труппы Малого драматического театра (сейчас имеющего еще одно название — Театр Европы).

Дебютом молодого актера на экране стал фильм-спектакль «Главы первые». В 1980 году зрители увидели Сергея в 3-й, заключительной серии телефильма Семена Арановича «Рафферти» в роли сына заглавного героя — Эдди. В 1981 году Сергей исполнил главную мужскую роль в фильме-спектакле будущего тестя, режиссера Владимира Латышева «Тарантул». Еще одним фильмом-спектаклем в актерской биографии Власова стала экранизация повести Станислава Родионова «Криминальный талант», в которой Сергей перевоплотился в потерпевшего — токаря Владика Капличникова. Произведение Родионова легло в основу и криминальной драмы «Переступить черту», пополнившей фильмографию артиста в середине 80-х годов XX века.

В фильме Александра Прошкина «Холодное лето пятьдесят третьего…», вошедшем в сокровищницу российского кинематографа, Власову досталась небольшая роль бандита по имени Витек. Актер дважды появился в сериале «Улицы разбитых фонарей»: в первом сезоне милицейской саги по мотивам произведений Андрея Кивинова Сергей воплотил образ Гуни (Сергея Сергеевича Гуняева), а в 6-м сезоне — Бурова. В «Бандитском Петербурге» за актером МДТ закрепилась роль Валентина Кравцова.

Благодаря актерскому таланту Власова его Александр Мартынов в «Дорожном патруле» вырос из второстепенного в центрального персонажа сериала. Еще два значимых проекта в телекарьере актера — сериалы «Первое мая» и «Внутренне расследование». В первом из них Сергей Афанасьевич сыграл отца и сына Поповых — Виктора и Алексея, а во втором перевоплотился в полковника УСБ Геннадия Щуку. Власов неоднократно играл исторических лиц. В сериале «Господа присяжные» Сергей Афанасьевич создал образ адвоката Анатолия Кони, в ленте «Маяковский. Два дня» — архитектора и живописца Франца (Федора Шехтеля), а в «Союзе спасения» — полководца Ивана Дибича. А вот в исторической драме «Адмиралъ» того же режиссера Андрея Кравчука, который поставил «Союз спасения», актеру досталась роль выдуманного персонажа — капитана Нестерова.

В 2021 году на телевидении прошло несколько премьер с участием Сергея Афанасьевича. В феврале канал ТНТ представил детективный сериал Нуурбека Эгена «Шерлок в России», в котором Власов создал образ Штюрмера. В апреле на «России-1» вышел второй сезон многосерийной ленты «Осколки», в котором ему досталась эпизодическая роль.